Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

Bihar Board Class 10 Maths द्विघात समीकरण Ex 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x2 – 3x – 10 = 0
(ii) 2x2 + x – 6 = 0
(iii) √2x2 + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2x2 – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
(v) 100x2 – 20x + 1 = 0
हल
(i) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
x2 – 3x – 10 = 0
⇒ x2 – (5 – 2)x – 10 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x2 – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
यदि x – 5 = 0, तो x = 0 + 5 ⇒ x = 5
और यदि x + 2 = 0, तो x = 0 – 2 ⇒ x = -2
अत: द्विघात समीकरण के मूल = 5, -2

(ii) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
2x2 + x – 6 = 0
⇒ 2x2 + (4 – 3)x – 6 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 2x2 + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
यदि x + 2 = 0 हो, तो x = 0 – 2 ⇒ x = -2
और यदि 2x – 3 = 0 हो, तो 2x = 0 + 3 ⇒ 2x = 3 या x = \(\frac{3}{2}\)
अत: द्विघात समीकरण के मूल = -2, \(\frac{3}{2}\)

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(iii) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
√2x2 + 7x + 5√2 = 0
⇒ √2x2 + (5 + 2)x + 5√2 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ √2x2 + 5x + 2x + 5√2 = 0
⇒ (√2x2 + 5x) (2x + 5√2) = 0
⇒ x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0
⇒ (√2x + 5) (x + √2) = 0
⇒ (√2x + 5) (x + √2) = 0
यदि √2x + 5 = 0 हो, तो √2x = 0 – 5 या x = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\) और
यदि x + √2 = 0 हो, तो x = -√2
अतः द्विघात समीकरण के मूल = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\), -√2

(iv) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
2x2 – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
⇒ 16x2 – 8x + 1 = 0 [दोनों पक्षों को 8 से गुणा करने पर]
⇒ (4x)2 – 2 × 4x × 1 + (1)2 = 0 [पूर्ण वर्ग बनाने पर]
⇒ (4x – 1)2 = 0 [∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]
⇒ (4x – 1) (4x – 1) = 0
प्रत्येक स्थिति में 4x – 1 = 0 ⇒ x = \(\frac{1}{4}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल = \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\)

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(v) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
100x2 – 20x + 1 = 0
⇒ 100x2 – (10 + 10)x + 1 = 0 [ मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 100x2 – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 100x2 – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x – 1) – 1 (10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1) (10x – 1) = 0
प्रत्येक स्थिति में 10x – 1 = 0
⇒ x = \(\frac{1}{10}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल = \(\frac{1}{10}\), \(\frac{1}{10}\)

प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को गणितीय रूपमें व्यक्त कीजिए :
(i) जॉन और जीवंती के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरम्भ में उनके पास कितने कंचे थे?
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य ₹55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत ₹750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
हल
(i) माना आरम्भ में जॉन के पास x कंचे थे।
दोनों के पास कुल कंचों की संख्या = 45
जीवन्ती के पास प्रारम्भ में कंचों की संख्या = (45 – x)
जब जॉन 5 कंचे खो देता है, तो उसके पास शेष बचे कंचों की संख्या = (x – 5)
इसी प्रकार, जब जीवन्ती 5 कंचे खो देती है, तो उसके पास शेष बचे कंचों की संख्या = (45 – x – 5) = (40 – x)
अब, कंचों की संख्या का गुणनफल = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x2 – 200 + 5x
= -x2 + 45x – 200
परन्तु प्रश्नानुसार कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है।
-x2 + 45x – 200 = 124
⇒ -x2 + 45x – 200 – 124 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ -x2 + 45x – 324 = 0
⇒ -(x2 – 45x + 324) = 0
⇒ x2 – 45x + 324 = 0
⇒ x2 – (36 + 9)x + 324 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x2 – 36x – 9x + 324 = 0
⇒ x2 – 36x – 9x + 324 = 0
⇒ x(x – 36) – 9(x – 36) = 0
⇒ (x – 36) (x – 9) = 0
यदि x – 36 = 0, तो x = 36
और यदि x – 9 = 0, तो x = 9
अत: जॉन के पास कंचों की संख्या = 36 अथवा 9
तब स्पष्ट है कि यदि जॉन के पास 36 कंचे हैं, तो जीवन्ती के पास 9 कंचे होंगे।
और यदि जॉन के पास 9 कंचे हैं तो जीवन्ती के पास 36 कंचे होंगे।
अतः उनके पास कंचों की संख्या (9, 36) अथवा (36, 9).

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(ii) माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या x है।
प्रश्नानुसार, प्रत्येक खिलौने का मूल्य = ₹ (55 – x)
उस दिन निर्मित सभी x खिलौनों की लागत = ₹ x(55 – x) = ₹ (55x – x2)
परन्तु उस दिन की निर्माण लागत = ₹ 750
55x – x2 = 750
⇒ 55x – x2 – 750 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x2 – 55x + 750 = 0
⇒ x2 – (25 + 30)x + 750 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x2 – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x2 – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x(x – 25) – 30(x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (x – 30) = 0
यदि x – 25 = 0, तो x = 25
और यदि x – 30 = 0 तो x = 30
अतः निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या = 25 या 30

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प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल
माना एक संख्या x है।
दूसरी संख्या = (27 – x) होगी।
तब संख्याओं का गुणनफल = x(27 – x) = 27x – x2
परन्तु दो संख्याओं का गुणनफल = 182
182 = 27x – x2
⇒ x2 – 27x + 182 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x2 – (14 + 13)x + 182 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x2 – 14x – 13x + 182 = 0
⇒ x(x – 14) – 13(x – 14) = 0
⇒ (x – 14) (x – 13) = 0
यदि x – 14 = 0, तो x = 14
और यदि x – 13 = 0, तो x = 13
पहली संख्या = 14 अथवा 13
यदि पहली संख्या 14 तो दूसरी 13 होगी; और पहली संख्या 13 तो दूसरी 14 होगी।
अत: अभीष्ट संख्याएँ = (14, 13) अथवा (13, 14)

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल
माना दो क्रमागत धन पूर्णांक x तथा x + 1 हैं।
प्रश्नानुसार, पूर्णांकों के वर्गों का योग 365 है।
x2 + (x + 1)2 = 365
⇒ x2 + x2 + 2x + 1 = 365 [∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
⇒ 2x2 + 2x + 1 – 365 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x2 + 2x – 364 = 0
⇒ 2(x2 + x – 182) = 0
⇒ x2 + x – 182 = 0
⇒ x2 + (14 – 13)x – 182 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x2 + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x(x + 14) – 13(x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 13) = 0
यदि x + 14 = 0, तो x = -14;
और यदि x – 13 = 0, तो x = 13
परन्तु x एक धन पूर्णांक है। इसलिए x का मान -14 स्वीकार्य नहीं है, तब x = 13
अत: पहला पूर्णांक = 13 और अगला धन पूर्णांक = 13 + 1 = 14

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प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल
माना समकोण त्रिभुज की आधार भुजा x cm है
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई आधार से 7 cm कम है।
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई या लम्ब भुजा = (x – 7) cm
तब, पाइथागोरस प्रमेय से,
(लम्ब)2 + (आधार)2 = (कर्ण)2
⇒ (x – 7)2 + x2 = (13)2 [∵ दिया है, कर्ण = 13 cm]
⇒ x2 – 14x + 49 + x2 = 169 [∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]
⇒ 2x2 – 14x + 49 – 169 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x2 – 14x – 120 = 0
⇒ 2(x2 – 7x – 60) = 0
⇒ x2 – 7x – 60 = 0
⇒ x2 – (12 – 5)x – 60 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से ]
⇒ x2 – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ (x2 – 12x) + (5x – 60) = 0
⇒ x(x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
यदि x – 12 = 0, तो x = 12
और यदि (x + 5) = 0, तो x = -5
परन्तु भुजा x का ऋणात्मक मान स्वीकार्य नहीं हो सकता जिससे x = 12
तब, ऊँचाई या लम्ब भुजा = x – 7 = 12 – 7 = 5 cm
अत: त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ = 5 cm व 12 cm

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प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल
माना उस विशेष दिन में निर्मित बर्तनों की संख्या x थी।
प्रत्येक नग की लागत निर्मित बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी।
प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
तब उस दिन निर्मित सभी बर्तनों की लागत = ₹x × (2x + 3) = ₹ (2x2 + 3x)
प्रश्नानुसार, उस दिन की कुल निर्माण लागत = ₹ 90
⇒ 2x2 + 3x = 90
⇒ 2x2 + 3x – 90 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x2 + (15 – 12)x – 90 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 2x2 + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15)(x – 6) = 0
यदि x – 6 = 0, तो x = 6
और यदि 2x + 15 = 0 हो, तो x = \(-\frac{15}{2}\)
बर्तनों की संख्या x ऋणात्मक नहीं हो सकती जिससे x का ऋणात्मक मान स्वीकार्य नहीं है।
अत: x = 6 अर्थात् निर्मित बर्तनों की संख्या = 6
तब, प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
= ₹ (2 × 6) + 3
= ₹(12 + 3)
= ₹15
अत: निर्मित बर्तनों की संख्या 6 तथा प्रत्येक नग की लागत ₹ 15 है।

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