Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2

प्रश्न 1.
एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90°, AB = 9m. BC = 12m, CD = 5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का क्षेत्रफल कितना है?
उत्तर:
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∆BCD में,
पादपागोरस प्रमेय से,
BD² = BC² + CD²
⇒ BD² = (12)² + (5)²
⇒ BD² = 169
⇒ BD² = 13 m
∴ ∆BCD का.
= \(\frac {1}{2}\) × BC × CD
= \(\frac {1}{2}\) × 12 × 5 = 30 m²
∵ s = \(\frac {1}{2}\) (a + b + c)
= \(\frac {1}{2}\) (9 + 8 + 13) = 15
∴ ∆ABD का हो = \(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {15 × 6 × 7 × 2}\)
= 6\(\sqrt {35}\) = 6 × 5.9 = 35.4 m²
[∵ \(\sqrt {35}\) = 5.9]
अत: पार्क का क्षेत्रफल
= ∆BCD का + ∆ABD का झे.
= 30 + 35.4
= 65.4 m²

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प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 है।
उत्तर:
पाइथागोरस प्रमेय से.
AC² = AB² + BC²
⇒ (5)² – (3)² + (4)²
⇒ 25 = 25
अत: ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।
⇒ ∆ABC का क्षेत्रफल
= \(\frac {1}{2}\) × AB × BC
= \(\frac {1}{2}\) × 3 × 4 = 6 cm²
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अब ∆ADC में,
s = \(\frac {1}{2}\) (a + b + c)
= \(\frac {1}{2}\) (5 + 4 + 5) = 7 cm
∴ ∆ADC का क्षे. = \(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {7 × 2 × 3 × 2}\)
= 2\(\sqrt {21}\) = 9.2 m²
[∵ \(\sqrt {21}\) = 4.6]
अत: चतुर्भुज का क्षे. = ABC का हो. + ∆ADC का के.
= 6 + 9.2 = 15.2 cm².

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प्रश्न 3.
राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाई जहाज का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति 12.6 में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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उत्तर:
(i) भाग का क्षेत्रफल
यहाँ s = \(\frac {5+5+1}{2}\) = 5.5 cm
अतः क्षेत्रफल =\(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {5.5 × 0.5 × 0.5 × 4.5}\)
आत: क्षेत्रफल = 0.75\(\sqrt {11}\) = 0.75 × 3.31
= 2.4825 cm²

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(ii) भाग का क्षेत्रफल
लम्बाई × चौड़ाई = 6.5 × 1 = 6.5 cm².

(iii) भाग का क्षेत्रफल-
समलम्बचतुर्भुज का क्षेत्रफल
= \(\frac {1}{2}\) × (समान्तर भुजाओं का योग) × लम्बवत् दूरी
= \(\frac {1}{2}\) (AB + DC) × AE
= \(\frac {1}{2}\) (1 + 2) × \(\sqrt {AD^2-DE^2}\)
= \(\frac {1}{2}\) (1 + 2) × \(\sqrt {1-25}\)
= \(\frac {1}{2}\) × 3 × \(\frac {√3}{2}\) = \(\frac {3×1.732}{4}\) = 1.299 cm².
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iv तथा v भाग का क्षेत्रफल-
2(\(\frac {1}{2}\) × 1.5 × 6) = 9 cm²
कुल क्षेत्रफल = 2.4825 + 6.5 + 1.299 + 9 = 19.28 cm².

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प्रश्न 4.
एक त्रिभुज और एक समाजर चतुर्भज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm है तथा समान्तर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचा ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
नाना त्रिभुज की भुजाएँ a = 26 cm b = 28 cm तथा c = 30 cm
अब, s = \(\frac {1}{2}\) (a + b + c) = \(\frac {1}{2}\) (26 + 28 + 30)
= 42 cm
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {42 × 16 × 14 × 12}\)
= \(\sqrt {7 × 6 × 4 × 4 × 7 × 2 × 6 × 2}\)
= 336 cm²
त्रिभुज का क्षेत्रफल = समानार चतुर्भुज का क्षेत्रफल
336 = आधार × ऊंचाई
⇒ ऊँबाई = \(\frac {336}{28}\) = 12 cm.

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प्रश्न 5.
एक समचतुर्भुजाकार धाम के खेत में 18 गावों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतर्भज की प्रत्येक भजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48 m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस पास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा?
उत्तर:
घास समचतुभुजाकार है तो विकर्ग परस्पर समकोण पर समति भाजित करेंगे।
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तब, पाइथागोरस प्रमेय
की
OA² = AB² – OB²
OA = \(\sqrt {30^2-24^2}\)
= \(\sqrt {(30+24)(30-24)}\)
= \(\sqrt {54×6}\)
= 18 m
⇒ 18 गायों के चरने के लिए घास का क्षेत्रफल
= समचतुर्भुज का क्षेत्रफल
= 4 × ∆AOB का क्षेत्रफल
= 4 × \(\frac {1}{2}\) × 24 × 18 = 864 m²
अत: प्रत्येक गाय के चरने के लिए पास = \(\frac {864}{18}\) = 48 m².

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प्रश्न 6.
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है (पाठ्य पुस्तक में आकृति देखिए) प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाने में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है?
उत्तर:
गाना a = 20 cm, b = 50 cm तथा c = 30 cm
राब, s = \(\frac {1}{2}\) (a + b + c) = \(\frac {1}{2}\) (20 + 50 + 50) = 60 cm
अत: एक त्रिभुजाकार टुकड़े का गेत्रफल
= \(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {60 × 40 × 10 × 10}\)
= 200√6 cm²
∴ 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों से खाता बना है। अत: दोनों रंगों के समान अर्थात् 5 – 5 टुकड़े लगेंगे।
माना पहले पीले रंग के टुकड़े का क्षेत्रफल
= 5 × 200 √6 = 1000 √6 cm²
नषा दूसरे लाल रंग के टुकड़े का क्षेत्रफला
= s × 200 √6 = 1000 √6 cm².

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प्रश्न 7.
एक पतंग तीन भिन-भिन शेडों (Shades) के कागजों से बनी है। इन्हें पाठ्य पुस्तक में दी गई आकृति में I, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक सपद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है।
उत्तर:
माना ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा a cm नया विकर्ण AC = BD = 32 cm
समकोण त्रिभुव ABC मैं,
AB² + BC² = AC²
⇒ a² + a² = (32)²
⇒ 2a² = 32 × 32
⇒ a² = \(\frac {32×32}{2}\) = 512
⇒ वर्ग का क्षेत्रफल = 512 cm²
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वर्ग का विकर्ण वर्ग को दो बराबर भागों । नघा में बोटना है।
∴ I भाग का क्षेत्रफल = II भाग का क्षेत्रफल
= \(\frac {1}{2}\) × 512 = 256 cm
अब, भाग III के लिए (s) = \(\frac {6+6+8}{2}\) = 10 cm
III भाग का क्षेत्रफल = \(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {10 × 4 × 4 × 2}\)
= 8√5 = 8 × 2.236 = 17.88 cm²

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प्रश्न 8.
फर्श पर एक फूलों का डिजाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ9 cm, 28 cm और 35 cm हैं (पाठ्य पुस्तक में आकृति देखिए)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm² की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया है, त्रिभुजाकार को भुजाएँ 9 cm, 28 cm तथा 35 cm
माना a = 9 cm, b = 28 cm नया c = 35 cm
हम जानते हैं, s = \(\frac {1}{2}\) (a + b + c)
= \(\frac {1}{2}\) (9 + 28 + 35) = 36 cm
प्रत्येक टाइल का क्षेत्रफल
= \(\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt {36 × 27 × 8 × 1}\)
= 36√6 cm² = 88.2 cm²
[∵ √6 = 2.45]
अत: 16 राइलों का क्षेत्रफल = 16 × 88.2 = 1411.2 cm²
∵ 50 पैसे प्रति cm’ की दर से पालिश कराने का व्यय
= (1411.2 × \(\frac {50}{100}\)) = Rs 705.60.

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प्रश्न 9.
एक खेत समलम्ब के आकार का है जिसकी समानर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमान्तर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
हम जानते हैं. AP = BQ
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⇒ AP² = BQ²
⇒ (13)² – (x)² = (14)² – (15 – x)²
⇒ 169 – x² = 196 – 225 – x² + 30
⇒ 30x = 198
⇒ x = 6.6 m
अतः AP = \(\sqrt {AD^2-DP^2}\)
= \(\sqrt {13^2-(6.6)^2}\) = 11.2 m
अत: खेत का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\) × (AB + DC) × AP
= \(\frac {1}{2}\) (25 + 10) × 11.2
= \(\frac {1}{2}\) × 35 × 11.2
= 196 m².

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