Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8

[जब तक अन्यश्चा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8

प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है:
(i) 7 m
(ii) 0.63 m
उत्तर:
(i) दिया है, r = 7 cm
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³ = \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 7
= 1437\(\frac{1}{3}\) cm³.

(ii) गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 0.63 × 0.63 × 0.63
= 1.05 m³.

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प्रश्न 2.
अठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए(विस्थापित) पानी का आवतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है:
(i) 28 cm
(ii) 0.-21 m
उत्तर:
(i) दिया है, व्यास = 28 m, प्रिया (r) = 14 cm
गेंद का विस्थापित पानी का आयतन = गेंद का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) πr³ = \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 14 × 14 × 14
= \(\frac{34496}{3}\) = 11498\(\frac{2}{3}\) cm³

(ii) दिया है, व्यास = 21 m,
त्रिच्या (r) = \(\frac{0.21}{2}\) = 0.105 m
गेंद द्वारा विस्थापित पानी का आयतन = गेंद का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 0.105 × 0.105 × 0.105
= 0.004851 m³

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प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm हैं यदि इस धातु का घनत्य 8.9 ग्राम प्रति cm³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिवा है, गेंद को त्रिज्या
= (\(\frac {व्यास}{2}\)) = \(\frac {4.2}{2}\) = 2.1 cm
अत: गेंद का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 2.1 × 2.1 × 2.1
= 38.808 cm³
∴ 1 cm³ में धातु का घनत्व = 8.9 ग्राम
∴ 38.808 cm³ में धातु का पनत्व = 38.808 × 8.9
= 345.39 ग्राम। (लगभग)

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प्रश्न 4.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन है?
उत्तर:
दिया है, चन्द्रमा का व्यास (d)
= \(\frac{1}{4}\) × पृथ्वी का व्यान (D)
तो, चन्द्रमा की त्रिज्या (r) = \(\frac{1}{4}\) × पृथ्वी की त्रिज्या (R)
⇒ r = R/4
चन्द्रमा का आयतन (V1) = \(\frac{4}{3}\) π(r)³
= \(\frac{4}{3}\) π (\(\frac{R}{4}\))³ …… (1)
पृथ्वी का आयतन (V2) = \(\frac{4}{3}\) πR³ ……. (2)
समी (1) व (2) से, \(\frac{V_1}{V_2}\) = \(\frac{\frac{4}{3}π(\frac{R}{4})^3}{\frac{4}{3} πR^3}\)
⇒ V1 = \(\frac{1}{4^3}\) = \(\frac{1}{64}\)
⇒ चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी का आयतन का \(\frac{1}{64}\) है।

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प्रश्न 5.
व्यास 10.5 cm वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
उत्तर:
दिया है, कटोरे की त्रिज्या = \(\frac {व्यास}{2}\)
= \(\frac {10.5}{2}\) = 5.25 cm
∴ कटोरे में दूध की क्षमता = कटोरे का आयतन
= \(\frac {2}{3}\)πr³ = \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × (5.25)³
= 303.18 cm
= (\(\frac {303.18}{1000}\)) लोटर
= 0.30318 लीटर
अत: अर्धगोलाकार कटोरे में 0.30318 लीटर दूध आ सकता है।

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प्रश्न 6.
एक अर्धगोलाकार टंकी 1 cm मोटी एक सोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 m है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया है, आन्तरिक त्रिन्या r = 1 m
मोटाई = 1 cm = 0.01 m
∴ बाहरी त्रिज्या, R = (आंतरिक त्रिन्या + मोटाई)
= (1 + 0.01) = 1.01 m
प्रयुक्त लोहे का आयतन
= बानी अक्तन – अन्तरिक आयतन
= \(\frac {2}{3}\) πR³ – = \(\frac {2}{3}\) πr³
= \(\frac {2}{3}\) π (R³ – r³)
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) [(1.01)³ – (1)³]
= 0.06348 m³. (लगभग)

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प्रश्न 7.
अ गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
उत्तर:
माना गोले की त्रिज्या r cm है।
अतः पृष्ठीय क्षेत्रफरल = 154 cm²
⇒ 4 × \(\frac {22}{7}\) × r² = 154
⇒ r = \(\sqrt {\frac{154×7}{4×22}}\)
= 3.5 cm
अत: गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × (3.5)³
= 179 \(\frac {2}{3}\) cm³.

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प्रश्न 8.
किसी भवन का गुंबद एक अर्थगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में Rs 498.96 व्यय हुए। बदि सफेदी कराने की दर Rs 2 प्रति वर्ग मीटर है. तो ज्ञात कीजिए।
(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुंबद का अंदर की हवा का आयतन।
उत्तर:
(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्तीय क्षेत्रफल
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= 249.48 m².

(ii) माना गुंबद की त्रिज्या r है,
∴ पृष्ठीय क्षेत्रफल = 249.48
2πr² = 249.48
⇒ 2 × \(\frac {22}{7}\) × r² = 249.48
⇒ r = \(\sqrt {\frac{249.48×7}{2×22}}\) = 6.3 m
अत: गुंबद के अन्दर हवा का आयतन-गुंबद का अयतन
= \(\frac {2}{3}\) πr³
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 6.3 × 6.3 × 6.3
= 523.9 m³. (लगभग)

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प्रश्न 9.
लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या है और पृष्ठीय क्षेत्रफल है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल है। ज्ञात कीजिए।
(i) नए गोले की त्रिज्या r’
(ii) S और S’ का अनुपात।
उत्तर:
(i) r त्रिज्या के 27 ठोस गोलों का आयतन
= r’ त्रिज्या के नए गोले का आयतन।
⇒ 27 × \(\frac {4}{3}\) πr³ = \(\frac {4}{3}\) πr’³
⇒ r’ = \(\sqrt[3]{27r^3}\)
⇒ r’ = 3r
अत: नये गोले की त्रिज्या r’ = 3r.

(ii) S तथा S’ का अनुपात = \(\frac {S}{S’}\) = \(\frac {4πr^2}{4π(r’)^2}\) = \(\frac {r^2}{(3r)^2}\)
= \(\frac {r^2}{9r^2}\) = 1 : 9
अन: S तथा S’ में अभीष्ट अनुपात = 1 : 9

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प्रश्न 10.
दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपमूल को भरने के लिए कितनी दवाई (mm³ में) की आवश्यकता होगी?
उत्तर:
दिया है, कंपसूल की त्रिज्या
\(\frac {व्यास}{2}\) = \(\frac {3.5}{2}\) =1.75 mm
अत: कैपसूल को भरने के लिए दवाई
= कैपसूल का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 1.75 × 1.75 × 1.75
= 22.46 mm³. (लगभग)

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