Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2

Bihar Board Class 10 Maths वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) का प्रयोग कीजिए)

प्रश्न 1.
6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।
हल
वृत्त की त्रिज्या (r) = 6 cm
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 60°
तब, त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q1
अत: त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 18.86 cm2 (लगभग) या \(\frac{132}{7}\) cm2

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प्रश्न 2.
एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 cm है।
हल
दिया है, वृत्त की परिधि (2πr) = 22 cm
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q2
अत: अभीष्ट क्षेत्रफल = 9.625 cm2

प्रश्न 3.
एक घड़ी की मिनट की सुई की लम्बाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
मिनट की सुई 1 घण्टे या 60 मिनट में 1 पूरा चक्कर लगाती है
मिनट की सुई 1 मिनट में लगाएगी = \(\frac{1}{60}\) चक्कर
मिनट की सुई 5 मिनट में लगाएगी = \(\frac{1}{60}\) × 5 चक्कर = \(\frac{1}{12}\) चक्कर
मिनट की सुई द्वारा आच्छादित वृत्त की त्रिज्या (r) = 14 cm
तब, सुई द्वारा रचित क्षेत्रफल = \(\frac{1}{12}\) πr2
= \(\frac{1}{12} \times \frac{22}{7} \times(14)^{2}\) cm2
= \(\frac{154}{3}\) cm2
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{154}{3}\) cm2 = 51\(\frac{1}{3}\) cm2

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प्रश्न 4.
10 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर एक समकोण अन्तरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-
(i) संगत लघु वृत्तखण्ड
(ii) संगत त्रिज्यखण्ड (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।
हल
(i) वृत्त की त्रिज्या (r) = 10 cm
जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण (θ) = 90°
संगत लघ वत्तखण्ड का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q4
अतः संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 28.5 cm2

(ii) संगत त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
= πr2 – 28.5
= 3.14 × (10)2 – 28.5
= 314 – 28.5
= 285.5
अत: संगत त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 285.5 cm2

प्रश्न 5.
त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए-
(i) चाप की लम्बाई,
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल,
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।
हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या (r) = 21 cm
तथा चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण (θ) = 60°
(i) चाप की लम्बाई (l)
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q5
अतः चाप की लम्बाई (l) = 22 cm

(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q5.1
अत: अभीष्ट त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 231 cm2

(iii) संगत जीवा द्वारा बने वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q5.2
अत: अभीष्ट वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 40.05 cm2

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प्रश्न 6.
15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73) का प्रयोग कीजिए।
हल
वृत्त की त्रिज्या (r) = 15 cm
जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण (θ) = 60°
संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q6
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q6.1
तब, संगत दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q6.2
अतः लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 20.4375 cm2
तथा दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 686.0625 cm2

प्रश्न 7.
त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करती है। संगत वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल
वृत्त की त्रिज्या (r) = 12 सेमी
तथा जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण (θ) = 120°
संगत (लघु) वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q7
अतः अभीष्ट वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 88.44 cm2

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प्रश्न 8.
15 cm भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूटे से एक घोड़े को 5 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है। ज्ञात कीजिए-
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि यदि घोड़े को 5 m लम्बी रस्सी के स्थान पर 10 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाए। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q8
हल
वर्गाकार मैदान की भुजा = 15 m
पूरे मैदान का क्षेत्रफल = (भुजा)2 = (15)2 = 225 m2
(i) घोड़ा एक 5 मीटर लम्बी रस्सी से बँधा है, तब वह अधिकतम 5 मीटर त्रिज्या वाले वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड की घास चर सकेगा जिसका कोण वर्ग के अन्त:कोण के बराबर अर्थात् 90° है।
तब, त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q8.1
अत: घोड़ा 19.625 m2 क्षेत्रफल की घास चर सकता है।

(ii) यदि रस्सी की लम्बाई 10 मीटर कर दी जाए अर्थात् त्रिज्या r = 10 मीटर हो तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q8.2
अब घोड़ा 78.5 m2 क्षेत्र की घास चर सकेगा।
अतः क्षेत्रफल में वृद्धि = 78.5 – 19.625 = 58.875 m2

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार ब्रच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित करता है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है तो ज्ञात कीजिए-
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई।
(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल।
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q9
हल
दिया है, वृत्ताकार ब्रूच का व्यास = 35 mm
⇒ त्रिज्या (r) = \(\frac{35}{2}\) mm
(i) चाँदी के ब्रूच के वृत्तीय भाग की माप = π × व्यास
= \(\frac {22}{7}\) × 35
= 110 mm
और 5 व्यासों की लम्बाई = 5 × 35 = 175 mm
अतः चाँदी के तार की कुल लम्बाई = 110 + 175 = 285 mm = 28.5 cm
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q9.1
अत: ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 96.25 mm2

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प्रश्न 10.
एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगी हुई हैं। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q10
हल
दिया है, छतरी की त्रिज्या (r) = 45 cm
दो क्रमागत तारों के मध्य एक त्रिज्यखण्ड बनेगा।
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q10.1

प्रश्न 11.
किसी कार के दो वाइपर (wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूमकर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल
प्रत्येक वाइपर की सफाई का क्षेत्र उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल होगा जिसकी त्रिज्या (r) = पत्ती की लम्बाई = 25 cm
तथा त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 115°
तब, प्रत्येक वाइपर के द्वारा साफ हुआ क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q11

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प्रश्न 12.
जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए एक लाइट हाउस (light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखण्ड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके।(π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल
दिया है, त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 80°
त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या (r) = 16.5 km = \(\frac{33}{2}\) km
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q12
अतः समुद्र के उस भाग, जहाँ जहाजों को चेतावनी दी जा सके, का क्षेत्रफल = 189.97 km2

प्रश्न 13.
एक गोल मेजपोश पर छह समान डिजाइन बने हुए हैं जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 cm है तो ₹ 0.35 प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग त्रिी कीजिए)
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q13
हल
दिया है, मेजपोश के वृत्त की त्रिज्या (r) = 28 cm
सभी डिजाइनों के क्षेत्रफल समान हैं,
प्रत्येक वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल और जीवाओं द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण θ समान हैं तथा प्रत्येक 60° है।
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q13.1
₹ 0.35 प्रति वर्ग सेमी की दर से डिजाइन कराने का व्यय = ₹ (0.35 × 464.8) = ₹ 162.68
अत: डिजाइनों को बनाने की लागत = ₹ 162.68

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प्रश्न 14.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए-
त्रिज्या R वाले वृत के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, निम्नलिखित है-
(A) \(\frac{p}{180}\) × 2πR
(B) \(\frac{p}{180}\) × πR2
(C) \(\frac{p}{360}\) × 2πR
(D) \(\frac{p}{720}\) × 2πR2
हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या = R
तथा त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = p°
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Q14
अत: विकल्प (D) सही है।

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