Bihar Board Class 8 Maths Solutions Chapter 5 वर्ग और वर्गमूल

Bihar Board Class 8 Maths Solutions Chapter 5 वर्ग और वर्गमूल Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 8 Maths Solutions Chapter 5 वर्ग और वर्गमूल

Bihar Board Class 8 Maths वर्ग और वर्गमूल Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सं का वर्ग ज्ञात करें।
(i) 42
(ii) 46
(iii) 58
(iv) 98
(v) 94
(vi) 45
उत्तर

प्रश्न 2.
निम्नलिखित का वर्ग निकालें।
(i) 25
(ii) 55
(iii) 95
(iv) 105
(v) 115
उत्तर

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-सी संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं? जाँच कीजिए।
(i) 256
(ii) 360
(iii) 324
(iv) 400
उत्तर

प्रश्न 4.
निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-कौन पूर्ण वर्ग हैं?
13, 16, 17, 48, 49, 64, 72, 343, 373758
उत्तर
13 = 13 × 1 (पूर्ण वर्ग नहीं है)
16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2 × 2 = 4 (पूर्ण वर्ग है)
17 = 1 × 17 (पूर्ण वर्ग नहीं है)
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 (पूर्ण वर्ग नहीं है)
49 = 7 × 7 (पूर्ण वर्ग है)
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 × 2 × 2 (पूर्ण वर्ग है)
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 (पूर्ण वर्ग नहीं है)
343 = 7 × 7 × 7 (पूर्ण वर्ग नहीं है)
337358 = 2 × 3 × 7 × 11 × 809 (पूर्ण वर्ग नहीं है)

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में कौन सम संख्या के वर्ग हैं?
169, 196, 256, 1296, 6561
उत्तर
दिए गए संख्याओं में 196, 256 तथा 1296 के इकाई स्थान पर सम सं० है।
ये सम संख्या के वर्ग हैं।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-सी पूर्ण वर्ग है?
400, 4000, 330550, 12345600000
उत्तर

प्रश्न 7.
कोष्ठक में सही संख्या लिखें :
(a) 24² – 23² = ______
(b) 102² – 101² = ______
(c) 501² – 500² = ______
(d) 400² – 399² = ______
उत्तर
(a) 24² – 23²
= (24 + 23) (24 – 23)
= 47 × 1
= 47

(b) 102² – 101²
= (102 + 101) (102 – 101)
= 203 × 1
= 203

(c) 501² – 500²
= (501 + 500) (501 – 500)
= 1001 × 1
= 1001

(d) 400² – 399²
= (400 + 399) (400 – 399)
= 799 × 1
= 799

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में कौन-सा त्रिक पाइथागोरस त्रिक है?
(1, 2, 3), (3, 4, 5), (6, 8, 10), (1, 1, 1), (2, 2, 3), (15, 36, 39)
उत्तर
पाइथागोरस त्रिक = a² + b² = c²
(1, 2, 3) = 1² + 2² = 3² = 1 + 4 ≠ 9 (पाइथोगरस त्रिक नहीं है)
(3, 4, 5) = 3² + 4² = 5² = 9 + 16 = 25 = 25 = 25 (पाइथोगोरस त्रिक है)
(6, 8, 10) = 6² + 8² = 10² = 36 + 64 = 100 = 100 = 100 (पाइथागोरस त्रिक है)
(1, 1, 1) = 1² + 1² = 12 = 1 + 1 = 1 = 2 ≠ 1 (पाइथागोरस त्रिक नहीं है)
(2, 2, 3) = 2² + 2² = 3² = 4 + 4 = 9 = 8 ≠ 9 (पाइथागोरस एक त्रिक नहीं है)
(15, 36, 39) = 15² + 36² = 39² = 225 + 1296 = 1521 = 1521 = 1521 (पाइथागोरस त्रिक है)

प्रश्न 9.
निम्नलिखित प्रतिरूप का प्रेक्षण करके छुटी हुई संख्याओं को ज्ञात करें :

उत्तर

प्रश्न 10.
विषम संख्याओं के क्रमिक घटाव की क्रिया द्वारा निम्नलिखित संख्याओं की जाँच करें कि कौन-सी संख्या पूर्ण वर्ग संख्या है?
(i) 81
(ii) 121
(iii) 144
(iv) 36
उत्तर
(i) 81
81 – 1 = 80
80 – 3 = 77
77 – 5 = 72
72 – 7 = 65
यह पूर्ण वर्ग संख्या है।
65 – 9 = 56
56 – 11 = 45
45 – 13 = 32
32 – 15 = 17

(ii) 121
121 – 1 = 120
यह पूर्ण वर्ग संख्या है।
120 – 3 = 117
117 – 5 = 112
112 – 7 = 105
105 – 9 = 96
96 – 11 = 85
85 – 13 = 72
57 – 17 = 40
40 – 19 = 21
72 – 15 = 57
21 – 21 = 0

(ii) 144
36 – 1 = 35
35 – 3 = 32
32 – 5 = 27
27 – 7 = 20
20 – 9 = 11
11 – 11 = 0
यह भी एक पूर्ण वर्ग है।

(iv) 36
144 – 1 = 143
143 – 3 = 140
140 – 5 = 135
135 – 7 = 128
128 – 9 = 119
119 – 11 = 108
108 – 13 = 95
95 – 15 = 80
80 – 17 = 63
63 – 19 = 44
44 – 21 = 23
23 – 23 = 0
यह भी एक पूर्ण वर्ग है।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित संख्याओं में से किन-किन संख्या का वर्ग विषम संख्या होगा?

1. 531
2. 5436
3. 3249
4. 82004

उत्तर

1. 531 – वर्ग विषम होगा
2. 5436 – वर्ग सम होगा
3. 3249 – वर्ग विषम होगा
4. 2004 – वर्ग सम होगा

प्रश्न 12.
योग संक्रिया किये बिना योगफल ज्ञात कीजिए :

1. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
2. 1 + 3 + 5 +…………+ 51
3. 1 + 3 + 5 + 7 +………..+ 101
4. 7 + 9 + 11 + 13 +……….+ 21

उत्तर

1. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
2. 1 + 3 + 5 +…….+ 51 = (26)² = 676
3. 1 + 3 + 5 + 7 +…….. 101 = (51)² = 2601
4. 7 + 9 + 11 + 13 + …….. + 21 = 112

प्रश्न 13.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे?

1. 25
2. 64
3. 272
4. 799
5. 5423
6. 2467
7. 5438
8. 99880
9. 43546

उत्तर

1. 25 के वर्ग का इकाई का अंक = 5
2. 64 के वर्ग का इकाई का अंक = 6
3. 272 के वर्ग का इकाई का अंक = 4
4. 799 के वर्ग का इकाई का अंक = 1
5. 5423 के वर्ग का इकाई का अंक = 9
6. 2467 के वर्ग का इकाई का अंक = 9
7. 5438 के वर्ग का इकाई का अंक = 4
8. 99880 के वर्ग का इकाई का अंक = 0
9. 43546 के वर्ग का इकाई का अंक = 6

प्रश्न 14.
निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं, इसका कारण दीजिए।

1. 1052
2. 23457
3. 54328
4. 325473
5. 25000
6. 743522
7. 543000
8. 56430

उत्तर

निम्नलिखित सं० पूर्ण रूप से वर्ग संख्याएँ नहीं है क्योंकि-

1. 1052 – जिन संख्याओं के इकाई स्थान पर 2 हो वो कभी पूर्ण संख्या नहीं कहलाती।
2. 23457 – जिन संख्याओं के अंत में 7 होता है वो कभी पूर्ण वर्ग संख्या नहीं कहलाती।
3. 54328 – जिन संख्याओं के अंत में 54328 होता है वो कभी पूर्ण वर्ग सं॰ नहीं कहलाती।
4. 325473 – जिन संख्याओं की इकाई की सं० 3 हो वे पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं होती।
5. 25000 – जिन संख्याओं के अंत में शून्य की संख्या विषम हो वे कभी पूर्ण वर्ग सं. नहीं होती।
6. 743522 – जिन संख्याओं के अंत में 2 होता है वे कभी पूर्ण वर्ग सं॰ नहीं होता।
7. 543000 – जिन संख्याओं के अंत में विषम शून्य संख्याएँ होती हैं वे कभी पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं होती हैं।
8. 56430 – जिन संख्याओं के अंत में विषम शून्य संख्या होती है वे कभी पूर्ण वर्ग सं० नहीं होती है।

Bihar Board Class 8 Maths वर्ग और वर्गमूल Ex 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात करें
(i) 625
(ii) 900
(iii) 1444
(iv) 3249
(v) 5776
(vi) 10404
(vii) \(\overline{19600}\)
उत्तर

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक के वर्गमूल में अंकों की संख्या बिना गणना के ज्ञात करें।

1. 81
2. 121
3. 256
4. 4489
5. 361
6. 27225
7. 390625

उत्तर

1. 81 के वर्गमूल में अंक की सं० = 1
2. 121 के वर्गमूल में अंकों की सं० = 42
3. 256 के वर्गमूल में अंकों की सं० = 2
4. 4489 के वर्गमूल में अंकों की सं० = 2
5. 361 के वर्गमूल में अंकों की सं० = 2
6. 27225 के वर्गमूल में अंकों की सं. = 3
7. 390625 के वर्गमूल में अंकों की सं० = 3

प्रश्न 3.
निम्नलिखित भिन्नों का वर्गमूल ज्ञात करें।

उत्तर

प्रश्न 4.
निम्नलिखित दशमलव संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात करें।
(i) 2.25
(ii) 6.76
(iii) 156.25
(iv) 9.8596
(v) 31.36
(vi) 1.816
(vii) 0.2916
उत्तर

प्रश्न 5.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में सबसे छोटी-से-छोटी संख्या क्या घटज्ञई जाए कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए। इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात करें।
(i) 90
(ii) 7581
(iii) 1989
(iv) 3250
(v) 402
(vi) 825
(vii) 4000
(viii) 2509
उत्तर

प्रश्न 6.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में न्यूनतम संख्या क्या जोड़ी जाए कि वह एक पूर्ण संख्या बन जाए। इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात करें।
(i) 130
(ii) 8400
(iii) 6203
(iv) 6412
(v) 525
(vi) 1750
(vii) 252
(viii) 1825
उत्तर

प्रश्न 7.
छः अंकों की वह बड़ी-से-बड़ी संख्या ज्ञात करें जो कि एक पूर्ण वर्ग संख्या है। संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात करें।
उत्तर

अभीष्ट सं० = 999999 – 1998 = 998001
वर्गमूल = 999

प्रश्न 8.
चार अंकों की वह बड़ी-से-बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो कि एक पूर्ण वर्ग संख्या है। प्राप्त वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर
चार अंकों की बड़ी सं = 9999

अभीष्ट सं० = 9999 – 198 = 9801
वर्गमूल = 99

प्रश्न 9.
छः अंकों की वह छोटी-से-छोटी संख्या ज्ञात करें कि एक पूर्ण वर्ग संख्या हो। इस प्रकार से प्राप्त वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर
छः अंकों की छोटी सं० = 100000

अभीष्ट सं० = 10000 + 489 = 100489
वर्गमूल = 317

प्रश्न 10.
एक वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल 60025 m² है। एक आदमी साइकिल से 5 metre की चाल से मैदान के चारों ओर चलता है तो कितने समय में वह प्रारंभिक बिन्दु पर आ जाएगा।
उत्तर

वह आदमी 245 से० में प्रारंभिक बिन्दु पर पहुँचेगा।