Bihar Board Class 8 Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक

Bihar Board Class 8 Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 8 Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक

Bihar Board Class 8 Maths बीजीय व्यंजक Ex 9.1

प्रश्न 1.
जोडिए-
(a) xy, 3xy
(b) x² + 3x, 2x + 9
(c) x², y²
(d) 7x – 8x
(e) 8a, -2a, 7a, 2b
(f) 8x, -2x, -6x
(g) 2.3x, 1.7x
(h) \(\frac{2}{3}\)x, \(\frac{1}{3}\)x, -x
उत्तर
(a) xy + 3xy
= (3 + 1) xy
= 4xy
(b) x² + 3x + (2x + 9)
x² + 3x + (2x + 9)
= x² + 3x + 2x + 9
= x² + (3 + 2)x + 9
= x² + 5x + 9
(c) x² + y² = x² + y²

(d) 7x + (-8x)
= 7x – 8x
= (7 – 8)x
= -x
(e) 8a + -2a + 7a + 2b
= 8a + 7a + 2b – 2b
= (8 + 7) a
= 15a
(f) 8x + (-2x) + (-6x)
= 8x – 2x – 6x
= (8 – 2 – 6)x
= (8 – 8) x
= 0x
= 0
(g) 2.3x + 1.7x
= (2.3 + 1.7) x
= (4.0) x
= 4x

प्रश्न 2.
पहले व्यंजक में से दूसरे को घटाइए-
(a) 22x, 10x
(b) 17xy, 19xy
(c) a² + 1, -2a
(d) 8x, -8x
(e) 7xy, 7xy
(f) 7.3x, 1.3x
(g) -6x + y + 4z – 8, -2y + x – 5z + 8
(h) \(\frac{x}{2}-\frac{x}{4}, \frac{x}{3}\)
उत्तर
(a) 22x – 10x = (22 – 10)x = 12x
(b) 17xy – 19xy
= (17 – 19)xy
= -2xy
(c) a² + 1 + – 2a = a² – 2a + 1
(d) 8x – (-8x) = 8x + 8x = 16x
(e) 7xy – 7xy
= (7 – 7)xy
= 0xy
= 0

(f) 7.3x – 1.3x = (7.3 – 1.3)x
= (6.0)x
= 6x
(g) -6x + y + 4z – 8 – (-2y + x – 5z + 8)
= -6x + y + 4z – 8 + 2y – x + 5z – 8
= -6x – x + y + 2y + 4z + 5z – 8 – 8
= -7x + 3y + 9z – 16

प्रश्न 3.
सरल कीजिए
(a) 2x – 3y – 7x + 2x – y + 2
(b) 5y³ – 3y² + 2y – 1 + 2y² + 6y – 5
(c) 6a – 3b + c – 6a + 3b + 7c
(d) 8x² + 5xy + 3y² + 3x² + 2xy – 6y²
उत्तर
(a) 2x – 3y – 7x + 2x – y + 2
= 2x – 7x + 2x – 3y – y + 2
= 4x – 7x – 4y + 2
= -3x – 4y + 2
(b) 5y³ – 3y² + 2y – 1 + 2y² + 6y – 5
= 5y³ – 3y² + 2y² + 2y + 6y – 5 – 1
= 5y³ – y² + 8y – 6
(c) 6a – 3b + c – 6a + 3b + 7c
= 6a – 6a – 3b + 3b + c + 7c
= 8c
(d) 8x² + 5xy + 3y² + 3x² + 2xy – 6y²
= 8x² + 3x² + 3y² – 6y² + 5xy + 2xy
= 11x² – 3y² + 7xy

प्रश्न 4.
यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ x + 1, x + 2 एवं x + 3 हैं तो इसकी परिमिति क्या होगी?
उत्तर
त्रिभुज की परिमिति = भुजाओं का योग = a + b + c
a = x + 1, b = x + 2, c = x + 3
त्रिभुज की परिमिति = x + 1 + x + 2 + x + 3
= 3x + 6
= 3(x + 2)

प्रश्न 5.
यदि किसी वर्ग की एक भुजा x – 7 है तो उसकी परिमिति ज्ञात कीजिए।
उत्तर
वर्ग की परिमिति = 4 × भुजा
= 4 × (x – 7)
= 4x – 28

प्रश्न 6.
रहीम की उम्र x + 6 वर्ष और महेश की उम्र y वर्ष है, दोनों की उम्र का योग और अंतर क्या होगा?
उत्तर
रहीम की उम्र = x – 6
महेश की उम्र = y
उम्र का यांग = x – 6 + y
उम्र का अंतर = x – y – 6

प्रश्न 7.
किसी आयत की दो आसन्न भुजाएँ क्रमशः x² + 2x + 1 एवं x² – 2x + 1 हैं तो आयत की परिमिति क्या होगी?
उत्तर
आयत की परिमिती = 2 (ल. + चौ.)
= 2(x² + 2x + 1 + x² – 2x + 1)
= 2(2x² + 2)
= 4x² + 4
= 4(x² + 1)

प्रश्न 8.
किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ क्रमश: x², y² हैं। यदि परिमिति x² + y² + z²हो तो त्रिभुज की तीसरी भुजा ज्ञात कीजिए।
उत्तर
∆ की परिमिती = भुजाओं का योग = x² + y² + z²
प्रश्न से,
पहली भुजा = x²
दूसरी भुजा = y²
∆ की तीसरी भुजा = x² + y² + z² – (x² + y²)
= x² + y² + z² – x² – y²
= z²

Bihar Board Class 8 Maths बीजीय व्यंजक Ex 9.2

प्रश्न 1.
गुणनफल ज्ञात कीजिए
(a) 8x × (-2)
(b) -3x × -3x²y
(c) 6mn × 7np
(d) 4p³ × 3p³
(e) x²y × xyz
(f) 2.5x × 4x
(g) 2.5x × 2.5y
(h) \(\frac {1}{2}\)x × \(\frac {1}{2}\)y
(i) \(\frac {1}{2}\)xy × 2xy
(j) 2x × 2x² × 2x³
(k) -3x²y × (-6) × 7xy
उत्तर
(a) 8x × (-2) = -16x
(b) -3x × -3xy = -9x³y
(c) 6mn × 7np = 6 × 7 × m × n × n × p = 42mn²p
(d) 4p³ × 3p³ = 4 × 3 × p³ × p³ = 12p⁶
(e) x²y × xy² = x² × x × y × y × z = x³y²z
(f) 2.5x × 4x = 2.5 × 4 × x × x = 10x²
(g) 2.5x × 2.5y = 2.5 × 2.5 × x × y = 6.25xy
(h) \(\frac {1}{2}\)x × \(\frac {1}{2}\)y
= \(\frac {1}{2}\) × \(\frac {1}{2}\) × x × y
= \(\frac {1}{4}\)xy
(i) \(\frac {1}{2}\)xy × 2xy
= \(\frac {1}{2}\) × 2 × xy × xy
= x²y²
(j) 2x × 2x² × 2x²
= 2 × 2 × 2 × x × x² × x²
= 8x⁵
(k) -3x²y × -6 × 7xy
= -3 × -6 × 7 × x² × x × y × y
= +126x²y²

प्रश्न 2.
किसी आयत की आसन्न भुजाएँ क्रमश: 6p²q² एवं 2pq हैं तो आयत का क्षेत्रफल क्या होगा?
उत्तर
आयत का क्षेत्रफल = ल० × चौ०
= 6p²q² × 2pq
= 6 × 2 × p² × p × q² × q
= 12p³q³

प्रश्न 3.
यदि किसी वर्ग की भुजा √2 x²y² है तो वर्ग का क्षेत्रफल क्या होगा?
उत्तर
वर्ग की भुजा = √2 x²y²
वर्ग का क्षे० = (भु०)²
= (√2 x²y²)²
= √2 × √2 × x² × x² × y² × y²
= 2x⁴y⁴

प्रश्न 4.
किसी त्रिभुज का आधार 7xyz एवं संगत शीर्षलंब 2x है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?
उत्तर
∆ का आधार = 7xyz
शीर्षलंब = 2x
∆ का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\) × आधार × शीर्ष
= \(\frac {1}{2}\) × 7xyz × 2x
= 7x²yz

प्रश्न 5.
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि उसकी भुजा 3x है।
उत्तर
समबाहु ∆ का क्षे = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × भुजा²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (3x)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 9x²
= \(\frac{9 \sqrt{3}}{4} x^{2}\)

प्रश्न 6.
उस घन का आयतन क्या होगा जिसकी कोर 6a हो?
उत्तर
घन का कोर = 6a
घन का आयतन = (कोर)³
= (6a)³
= 216a³

प्रश्न 7.
यदि एक कलम का मूल्य x²y हो तो y²x कलम का मूल्य क्या होगा?
उत्तर
एक कलम का मू० = x²y
y²x का मू० = x²y × y²x = x³y³

प्रश्न 8.
यदि कोई व्यक्ति \(\frac{x^{2}}{2}\) km/h की चाल से चल रहा हो तो 2 घंटे में वह कितनी दूरी तय कर लेगा?
उत्तर
व्यक्ति की चाल = \(\frac{x^{2}}{2}\) km/h
समय = 2 घंटे
दूरी = चाल × समय
= \(\frac{x^{2}}{4}\) × 4 km
= x² km

Bihar Board Class 8 Maths बीजीय व्यंजक Ex 9.3

प्रश्न 1.
दिए गए बीजीय व्यंजकों का गुणा कीजिए-
(a) (4a – 5b) × (2a – 6b)
(b) (1.5x – 0.5y) × (1.5x + 0.5y)
(c) (\(\frac{1}{2}\)pq – \(\frac{3}{2}\)q) × (pq – q)
(d) (a + b) × (3x – y)
(e) (a²b² – c²d²) × (a²b² + c²d²)
(f) (2a + 2b + c) (a + b – c²)
उत्तर
(a) (4a – 5b) × (2a – 6b)
= 4a × 2a – 4a × 6b – 5b × 2a + 5b × 6b
= 8a² – 24ab – 10ba + 30b²
= 8a² – 34ab + 30b²
(b) (1.5x – 0.5y) × (1.5x + 0.5y)
= 1.5x × 1.5x + 1.5x × 0.5y – 0.5y × 1.5x – 0.5y × 0.5y
= 2.25x² + 0.75xy – 0.75xy – 0.25y²
= 2.25x² – 0.25y²
= (1.5x)² – (0.5y)²

(d) (a + b) × (3x – y)
= a × 3x – a × y + b × 3x – b × y
= 3ax – ay + 3bx – by
= 3ax – ay + 3bx – by
(e) (a²b² – c²d²) × (a²b² + c²d²)
= a²b² × a²b² + a²b² × c²d² – c²d² × a²b² – c²d² × c²d²
= a⁴b⁴ + a²b²c²d² – c²d²a²b² – c⁴d⁴
= a⁴b⁴ – c⁴d⁴
(f) (2a + 2b + c) (a + b – c²)
= 2a × a + 2a × b – 2a × c² + 2b × a + 2b × b – 2b × c² + c × a + c × b – c × c²
= 2a² + 2ab – 2ac² + 2ab + 2b² – 2bc² + ac + bc – c³
= 2a² + 4ab – 2ac² + 2b² – 2bc² + ac + bc – c³

प्रश्न 2.
सरल कीजिए-
(a) (a – b)(a + b) – (a + b)(a + b)
(b) (a² – b) (a – b²) + (a – b)²
(c) (2.3x – 1.7y) (2.3x + 1.7y + 5) – 5.29x² + 2.89y²
(d) (a + b)² – (a – b)²
(e) (x + y + z) × (x + y + z)
(f) (a – b) (b – c) + (b – c) (c – a) + (c – a) (a – b)
उत्तर
(a) (a – b)(a + b) – (a + b) (a + b)
= a × a + a × b – b × a – b × b – (a × a + a × b + b × a + b × b)
= a² + ba – ab – b² – (a² + ab + ba + b²)
= a² – b² – a² + ab + ba + b²
= 2ab
(b) (a² – b) (a – b²) + (a – b)²
= a² × a – a² × b² – b × a + b × b² + a² – 2ab + b²
= a³ – a²b² – ab + b³ + a² – 2ab + b²
= a³ – a²b² – 3ab + a² + b² + b³
(c) (2.3x – 1.7y) (2.3x + 1.7y + 5) – 5.29x² + 2.89y²
= (2.3x × 2.3x) + (2.3x × 1.7y) + (2.3x × 5) – (7.7y × 2.3x) – (1.7y × 1.7y) – (1.7y × 5) – 5.29x² + 2.89y²
= 5.29x² + 3.91xy + 11.5x – 5.29xy – 2.89y² – 8.5y – 5.29x² + 2.89y²
= 3.91xy + 11.5x – 5.29xy – 8.5y
= 11.5x – 8.5y – 1.38xy
(d) (a + b)² – (a – b)²
= a² + 2ab + b² – (a² – 2ab + b²)
= a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b²
= 4ab
(e) (x + y + z) (x + y + z)
= x × x + x × y + x × z + y × x + y × y + y × z + z × x + z × y + z × z
= x² + xy + xz + yx + y² + yz + xz + zy + z²
= x² + 2xy + 2xz + 2zy + y² + z²
(f) (a – b) (b – c) + (b – c) (c – a) + (c – a) (a – b)
= a × b – a × c – b × b + b × c + b × c – b × a – c × c + c × a + c × a – c × b – a × a + a × b
= ab – ac – b² + bc + bc – ba – c² + ac + ac – cb – a² + ab
= ab + bc + ac – b² – c² – a²

प्रश्न 3.
किसी त्रिभुज का आधार एवं संगत शीर्षलम्ब क्रमशः (x + y)² एवं (x + y)² हैं तो उसका क्षेत्रफल क्या होगा?
उत्तर
क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\) × आधार × शीर्ष
= \(\frac {1}{2}\) × (x + y)² × (x – y)²
= \(\frac {1}{2}\) × x² + 2xy + y² (x² – 2xy + y²)
= \(\frac {1}{2}\) × (x² × x² – x² × 2xy + x² × y² + 2xy × x² – 2xy × 2xy + 2xy × y² × x² – 2xy × y² + y² × y²)
= \(\frac {1}{2}\) × (x⁴ – 2x³y + x²y² + 2x³y – 4x²y² + 2xy³ + x²y² – 2xy³ + y⁴)
= \(\frac {1}{2}\) × (x⁴ + 2x²y² – 4x²y² + y⁴)
= \(\frac {1}{2}\) × (x⁴ – 2x²y² + y⁴)

प्रश्न 4.
आयत की लम्बाई उसकी चौड़ाई से (x + y) इकाई अधिक है। यदि चौड़ाई z इकाई हो तो आयत की लम्बाई व क्षेत्रफल के लिए व्यंजक लिखिए।
उत्तर
आयत की चौ० = z
आयत की ल० = x + y + z
आयत का क्षे० = ल० × चौ०
= (x + y + z) × z
= xz + yz + z²

प्रश्न 5.
यदि किसी लड़की ने (x + y) रु. प्रति किलो की दर से (m + n) किलोग्राम आलू एवं y रुपये प्रति किलोग्राम की दर से (m – n) किलो टमाटर खरीदे तो उसके कुल कितनी राशि देनी होगी?
उत्तर
आलू की कीमत = (x + y) × (m + n) = xm + xn + ym + yn
टमाटर की कीमत = y × (m – 1) = ym – yn
कुल कीमत = xm + xn + ym + yn + ym – yn
= xm + xn + 2ym

प्रश्न 6.
पिता की उम्र उसके पुत्र की उम्र के (m + n) गुणा है। यदि पुत्र की उम्र (x² – y²) वर्ष हो तो पिता की उम्र के लिए व्यंजक लिखिए।
उत्तर
पुत्र की उम्र = (x² – y²)
पिता की उम्र = (m + n) (x² – y²)
= x²m – my² + nx² – ny²

Bihar Board Class 8 Maths बीजीय व्यंजक Ex 9.4

प्रश्न 1.
उचित सर्वसमिकाओं का उपयोग कर दिए गए व्यंजकों का गुणनफल प्राप्त कीजिए-
(a) (5x + 7y)²
(b) (a + \(\frac{a}{2}\))²
(c) (1.5x + 2.5y)²
(d) (x + \(\frac{1}{x}\))²
(e) (0.4a – 0.5b) (0.4a – 0.5b)
(f) \(\left(\frac{1}{3} a+\frac{2}{3} b\right)\left(\frac{1}{3} a+\frac{2}{3} b\right)\)
(g) (y² – y) (y² – y)
(h) (pqr – 3) (pqr + 3)
(i) (2x + 3) (2x – 5)
(j) (3.5x – y) (3.5x – y)
(k) \(\left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\right)^{2}\)
(l) \(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)^{2}\)
(m) \(\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}\)
उत्तर
(a) (5x + 7y)²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(5x + 7y)² = (5x)² + 2 × 5x × 7y + (7y)²
= 25x² + 70xy + 49y²
(b) (a + \(\frac{a}{2}\))²
= a² + 2 × a × \(\frac{a}{2}\) + (\(\frac{a}{2}\))²
= a² + a² + \(\frac{a^{2}}{4}\)
(c) (1.5x + 2.5y)² = (1.5x)² + 2 × 1.5x × 2.5y + (2.5y)²
= 2.25x² + 7.5xy + 6.25y²
(d) \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2 \times 2 \times \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}\)
= x² + 2 + \(\frac{1}{x^{2}}\)
(e) (0.4a – 0.5b) (0.4a – 0.5b)
= 0.4a × 0.4a – 0.4a × 0.5b – 0.5b × 0.4a – 0.5b × 0.5b
= 0.16a² – 0.2ab – 0.2ab – 0.25b²
= 0.16a² – 0.4ab – 0.25b²

(g) (y² – y) (y² – y)
= y² × y² – y² × y – y × y² + y × y
= y⁴ – y³ – y³ + y²
= y⁴ – 2y³ – y²
(h) (pqr – 3) (pqr + 3)
(a + b)(a – b) = a² – b²
(pqr – 3) (pqr + 3) = (pqr)² – 3²
= p²q²r² – 9
(i) (2x + 3) (2x – 5) = 2x × 2x – 2x × 5 + 3 × 2x – 3 × 5
= 4x² – 10x + 6x – 15
= 4x² – 4x – 15
(j) (3.5x – y) (3.5x – y)
= 3.5x × 3.5x – 3.5x × y – 3.5x × y + y × y
= 12.25x² – 3.5xy – 3.5xy + y²
= 12.25x² – 7xy + y²

प्रश्न 2.
सरल कीजिए-
(a) (x² + y²)²
(b) (3a – 5b)² – (3a + 5b)²
(e) (xyz + xy)² – 2x²y²z

उत्तर
(a) (x² + y²)²
= (x²)² + 2(x²) (y²) + (y²)²
= x⁴ + 2x²y² + y⁴
(b) (3a – 5b)² – (3a + 5b)²
= (3a)² – 2(3a) (5b) + (5b)² – {(3a)² + 2(3a) (5b) +(5b)²}
= 9a² – 30ab + 25b² – {9a² + 30ab + 25b²}
= 9a² – 30ab + 25b² – 9a² – 30ab – 25b²
= -60ab
(c) (xyz – xy)² – 2x²y²z
= (xyz)² – 2(xyz) (xy) + (xy)² – 2x²y²z
= x²y²z² + 2x²y²z² + x²y² – 2x²y²z
= x²y²z² + x²y²

प्रश्न 3.
सर्वसमिकाओं के उपयोग से निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिए
(a) 812
(b) (999)
(c) (52)
(d) (498)
(e) (5.5)²
(f) 191 × 209
(g) 10.5 × 9.5
(h) (101)² – (99)²
(i) (1.5)² – (0.5)²
उत्तर
(a) 812
= (80 + 1)²
= (80)² + 2 × 80 × 1 + 1²
= 6400 + 160 + 1
= 6561
(b) (999)² = (1000 – 1)²
= (1000)² – 2 × 1000 × 1 + 1²
= 1000000 – 2000 + 1
= 998001
(c) (52)²
= (50 + 2)²
= (50)² + 2 × 50 × 2 + 2²
= 2500 + 200 + 4
= 2704
(d) (498)²
= (500 – 2)²
= (500)² – 2 × 50 × 2 + 2²
= 250000 – 2000 + 4
= 250000 – 1096
= 248904
(e) (5.5)² = (6 – 0.5)²
= 6² – 2 × 6 × 0.5 + (0.5)²
=36 – 6 + 0.25
= 36.25 – 6
= 30.25
(f) 191 × 209
= (200 – 9) × (200 + 9)
= (200)² – 9²
= 40000 – 81
= 39919
(g) 10.5 × 9.5
= (10 + 0.5) × (10 – 0.5)
= (10)² – (0.5)²
= 100 – 0.25
= 99.75
(h) (101)² – (99)²
= (101 + 99) (101 – 99)
= (200) (2)
= 400
(i) (1.5)² – (0.5)²
= (1.5 + 0.5) (1.5 – 0.5)
= 2 × 1
= 2

प्रश्न 4.
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का उपयोग कर निम्नलिखित का गुणनफल एवं मान ज्ञात कीजिए-
(a) (x + 3y) (x + 5y)
(b) (3x + 7) (3x + 5)
(c) (x – 5)(x + 4)
(d) (2x – 7) (2x – 9)
(e) 52 × 53
(f) 3.1 × 3.2
उत्तर
(a) (x + 3y) (x + 5y)
= x² + (3y + 5y)x + 3y × 5y
= x² + (8y)x + 15y²
= x² + 8yx + 15y²
(b) (3x + 7) (3x + 5)
= (3x)² + (7 + 5)3x + 7 × 5
= 9x² + 36x + 35
(c) (x – 5) (x + 4)
= x² + (-5 + 4)x + (-5) (4)
= x² – x – 20
(d) (2x – 7) (3x – 9)
= (2x)² + (-7 – 9) 2x + (-7) (-9)
= 4x² + 32x + 63
(e) 52 × 53
= (50 + 2) (50 + 3)
= (50)² + (2 + 3) 50 + 2 × 3
= 2500 + 250 + 6
= 2756
(f) 3.1 × 3.2
= (3 + 0.1) (3 + 0.2)
= 3² + (0.1 + 0.2)3 +0.1 × 0.2
= 9 + (0.3)3 + 0.02
= 9 + 0.9 + 0.02
= 9.92