Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.4

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.4

Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.4

प्रश्न 1.
5 cm तथा 3 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दो विन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा मके केन्द्रों के बीच की दूरी 4 cm है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना 5 cm तथा 3 cm की त्रिज्याओं वाले वृत्त के केन्द्र O तथा O’ है जिनकी उभयनिष्ठ जीला PQ है।
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∴ OP = 5cm. O’P = 3cm तथा OO’ = 4 cm.
∆OO’P एक समकोण त्रिभुव है।[∵ OP² = PO’² – OO’²]
हम जानते है कि किसी चूत के केन्द्र से डाला गया लम्ब उसकी जीवा को समद्विभाजित करता है।
नकि उभयनिष्ठ जीवा PQ छोटे वृत्त के केन्द्र O से होकर जाती है, इसलिए PQ खेटे वृत्त का व्यास है।
अत: जीवा PQ को सम्याई = खेटे वृत्त का व्यास D
⇒ PQ = 2 × O’P
∴ PQ = 2 × 3 = 6 cm.

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प्रश्न 2.
यदि एक वृत्त की दो समान जीयाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खण्ड दूसरी जीवा के संगत खण्डों के बराबर है।
उत्तर:
दिया गया है : PQ तथा RS वृत्त की दो समान जीवाएँ जो एक-दूसरे को T पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है:
(i) PT = RT
(ii) TQ = TS
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रचना : OV ⊥ PT तथा OU ⊥ RT खाँची
उपपत्ति: ∆OVT तथा ∆OUT में,
OV = OU
(बराबर जीवाएँ जो केन्द्र से समान दूरी पर होंगी)
राया ∠OVT = ∠OUT
∴ OT = OT (उभयनिष्ठ)
∆OVT ≅ ∆OUT (SAS सांगसम गुणधर्म से)
∴ VT = UT …….. (1)
हम जानते हैं. PQ = RS …….. (2)
\(\frac{1}{2}\) PQ = \(\frac{1}{2}\) RS
⇒ PV = RU ……. (3)
समी- (1) व (3) को जोड़ने पर,
PV + VT = RU + UT
⇒ PT = RT
सगी. (2) में से (4) को घटाने पर,
PQ – PT = RS – RT
⇒ QT – ST …….. (5)
अत: समी. (4) तथा (5) से सिद्ध है कि संगत खण्ड बराबर होंगे।

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प्रश्न 3.
बदि एक वृत्त की दो समान जीवाएं वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद विन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती हैं।
उत्तर:
दिया गया है : PQ तथा RS दो समान जीवाजे एक दूसरे को T पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है! ∠OTV = ∠OTU
रचना : OV ⊥ PQ तथा OU ⊥ RS खाँची।
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उपपत्ति: ∆OVT तथा ∆OUT में,
OV = OU
(समान जीवा केन्द्र से समान दूरी पर होंगी)
∠OVT = ∠OUT
OT = OT (उभयनिष्ठ)
∴ ∆OVT ≅ ∆OUT (SAS सर्वांगसमता से)
∴ ∠OTV = ∠OTU
(सवांगसम त्रिभुज के संगत भाग)

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प्रश्न 4.
यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केन्द्र वाले वृत्त) को, जिनका केन्द्र O है. A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए AB = CD(पाठ्य-पुस्तक में आकृति देखिए।)
उत्तर:
रचना : OM ⊥ AD खींची।
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हम देख सकते हैं कि BC छेटे वृत्त तथा AD बड़े वृत की जीजा है। केन्द्र से डाला गया लम्ब जीया को समद्विभाजित करती है।
∴ BM = MC …… (1)
तथा AM = MD …….. (2)
समी. (2) में से (1) को घटाने पर,
AM – BM = MD – MC
⇒ AB = CD

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प्रश्न 5.
एक पार्क में बने 5 m त्रिज्या वाले बन पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही है। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 m झे, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?
उत्तर:
O तथा OB लन्ध क्रमश: RS तथा SM पर खींचे।
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AR = AS = \(\frac{6}{2}\) = 3m
OR = OS = OM = 5 m
(वृत्त की त्रिज्याएँ)
समकोण ∆OAR में,
OA² + AR² = OR²
OA² + (3)² = (5)²
OA = 4 m
ORSM एक पतंग की तरह होगी।
(OR = OM तथा RS = MS)
हम जानते हैं कि पतंग के विकर्ण लम्ब तथा उभयनिष्ठ विकर्ण अन्य विकर्ण से दोनों समबाहु त्रिभुज का समद्विभाजित होता है।
∴ ∠RCS = 90° तपा RC = CM
∆ORS का क्षेत्रफल = \(\frac{6}{2}\) × OA × RS
\(\frac{6}{2}\) × RC × OS = \(\frac{6}{2}\) × 4 × 6
= RC × 5 = 24
RC = 4.8
RM = 2RC = 2(4.8) = 9.6
अत: रेशमा तथा मनदीप के बीच की दूरी = 9.6 m.

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प्रश्न 6.
20 m त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कालोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठेहैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
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दिया है : AS = SD = DA
∴ ∆ASD एक समबाहु त्रिभुज है।
OA = 20 m
AB, ∆ASD की माध्यिका AK है तथा केन्द्र O, AB को 2 : 1 में विभाजित करता है।
उत्तर:
⇒ \(\frac{OA}{OB}\) = \(\frac{2}{1}\)
⇒ \(\frac{20}{OB}\) = \(\frac{2}{1}\)
⇒ OB = 10 m
∴ AB = OA + OB
= (20 + 10) = 30 m
समकोण ∆ABD में, AD² = AB² + BD²
⇒ AD² = (30)² + (\(\frac{AD}{2}\))²
⇒ AD² = 900 + \(\frac{1}{4}\) AD²
⇒ AD² – \(\frac{1}{4}\) AD² = 900
⇒ \(\frac{3}{4}\) AD² = 900
⇒ AD² = 1200
⇒ AD = 20√3 m
अत: प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई = 20√3 m.

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