Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.3 Text Book Questions and Answers.
BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.3
प्रश्न 1.
∆ABC और ∆DRC एकही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि और D भुजा BC के एक ही और स्थित है (देखिए आकृति)| बदि AD बताने पर BC को P पर प्रतिचोद को तो दाइए कि-
(i) ∆ABD ≅ ∆ACD
(ii) ∆ABP ≅ ∆ACP
(iii) AP कोणA और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) AP रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है।
उत्तर:
दिया है, ∆ABC और ∆DBC समद्विबाहु त्रिभुज हैं।
तो, AB = AC ………. (1)
तथा BD = CD …….. (2)
(i) ∆ABD तथा ∆ACD मैं,
AB = AC [समी (1) से]
BD = CD [समी. (2) से]
AD = AD (उभयनिष्ठ)
∴ SSS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆ABD ≅ ∆ACD.
(ii) ∆ABP तथा ∆ACP में.
∠BAP = ∠CAP
(∵ ∆ABD ≅ ∆ACD, भाग (1) से])
AB = AC [समी. (1) से]
तथा AP = AP (उभयनिष्ठ)
∴ SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆ABP ≅ ∆ACP.
(iii) ∆ABD ≅ ∆ACD [भाग (1) से]
अतः ∆BAD ≅ ∆CAD
तथा ∆ABP = ∆ACP
अतः ∠BAP = ∠CAP
तो AP, ∠A को दो बराबर भागों में बाँटता है।
∆BDP और ∆CDP में.
BD = CD
BP = CP (∆ABP ≅ ∆ACP)
DP = DP (उभयनिष्ठ)
∴ SSS, सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆BDP ≅ ∆CDP
⇒ ∠RDP = ∠CDP
अत: AP, ∠D को दो बराबर भागों में बाँटता है।
अत: AP कोण ∠A तथा ∠D दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) ∆BDP ≅ ∆ACP [भाग (iii) से)]
∠BPD = ∠CPD
तथा BP = PC
यह BPC एक रेखायुाम है
तो ∠BPD + ∠CPD = 180°
2∠BPD = 180°
∠BPD = 90°
अत: AP रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है।
प्रश्न 2.
AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि-
(i) AD, रेखाखण्ड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD, कोण A को समद्विभाजित करता है।
उत्तर:
(i) माना ∆ABC में AD एक शोर्षलब है,
∆ABD और ∆ACD में,
AB = AC
AD = AD (उभवनिष्ठ)
∠ADB = ∠ADC = 90° (∵ AD ⊥ BC)
∴ RHS, सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆ABD ≅ ∆ACD
⇒ BD = CD
तथा ∠BAD = ∠CAD (∵ सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं)
आ: AD रेखाखण्ड RC को समद्विभाजित करता है।
(ii) ∆ABD ≅ ∆ACD
∴ ∠BAD = ∠CAD
अत: AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 3.
एक त्रिभुज ABC को दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमश: एक दूसरे प्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि-
(i) ∆ABM ≅ ∆PQN
(ii) ∆ABC ≅ ∆PQR.
उत्तर:
दिया है, AM तथा PN माध्यिका है, अतः ये रेखाखण्ड BC और QR को दो बराबर भागों में बाँटती है।
⇒ BC = QR
\(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)QR
⇒ BM = QN …… (1)
(i) ∆ABM और ∆PQN में,
AB = PQ (दिया है।)
AM = PN (दिया है।)
BM = QN समी. (1) से]
∴ SSS सर्वागसमता गुणधर्म से, ∆ABM ≅ ∆PQN.
(ii) ∠ABM = ∠PQR ……… (2) [भाग (i) से]
∆ABC और ∆PQR में,
AB = PQ (दिया है।)
BC = QR (दिया है।)
∠ABC = ∠PQR समी. (2) से]
∴ SAS, सर्वागसमता गुणधर्म से,
∆ABC ≅ ∆PQR.
प्रश्न 4.
BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलम्ब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उत्तर:
वहाँ BE ⊥ AC, CF ⊥ AB तथा BE = CF
∆AEB और ∆AFC में,
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∠AEB = ∠AFC = 90°
BE = CF (दिया है।)
∆AEB ≅ ∆AFC
⇒ AB = AC (∵ सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं)
अत: ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP ⊥ BC खींचकर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है।
उत्तर:
∆ABP और ∆ACP में,
AB = AC (दिया है)
∠APB = ∠ABC = 90° (∵ AP ⊥ BC)
AP = AP (जभवनिष्ठ)
∴ RHS, सबोगसमता गुणधर्म से.
∆ABP ≅ ∆ACP
⇒ ∠B = ∠C. (∵ सर्वागसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।)