Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.4 Text Book Questions and Answers.
BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.4
प्रश्न 1.
दर्शाइए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लम्बी भुजा होती है।
उत्तर:
माना ∆ABC समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A = 90°
∆ABC में,
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°
∠ABC + ∠BCA = 180° – 90°
∠ABC + ∠BCA = 90°
अत: ∠ABC तथा
∠BCA न्यून कोण हैं।
⇒ ∠ABC < 90°
तथा ∠BCA < 90°
⇒ AC < BC
तथा AB < BC
(∵ बड़े कोण के सम्मुख भुजा बड़ी होती है।)
अग: कर्ण BC सबसे लम्बी भुजा है।
प्रश्न 2.
आकृति में, ∆ABC की भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिंदुओं P और Q तक बढ़ाया गया है। साथ ही, ∠PDC < ∠QCB है। दर्शाइए कि AC > AB है।
उत्तर:
∠PBC < ∠QCB (दिया है)
⇒ 180 – ∠PBC > 180° – ∠QCB
∠ABC > ∠ACB
⇒ AC > AB.
प्रश्न 3.
आकृति में, ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है। दर्शाइए कि AD < BC है।
उत्तर:
∆ABO में, ∠B < ∠A
⇒ OA < OB …….. (1)
तथा ∆COD में, ∠C < ∠D
OD < OC ……… (2)
समो. (1) व (2) को जोहने पर,
OA + OD < OB + OC
AD < BC.
प्रश्न 4.
AB और CD क्रमशः एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएँ है (देखिए पाठ्य पुस्तक में आकृति)। दर्शाइए कि ∠A > ∠C और ∠B > ∠D है।
उत्तर:
AC तथा BD को मिलाने पर (देखें आकृति)
∴ ∆ABC में, BC > AB (∵ AB सबसे छोटी भुगा है)
∠8 > ∠3 ……. (1)
∴ ∆ACD में, CD > AD (∵ CD सबसे बड़ी भुजा है।
∠7 > ∠4 …….. (2)
समी. (1) व समी. (2) को जोड़ने पर,
∠8 + ∠7 > ∠4 + ∠3
∠A > ∠C
पुन: ∆ABD में, AD > AB
∠1 >∠6 …….. (3)
पुन: ∆BCD ने, CD > BC
∠2 > ∠5 …….. (4)
समी. (3) व समी-(4) को जोड़ने पर,
∠1 + ∠2 > ∠5 +∠6
∠B > ∠D
अत: ∠A > ∠C तथा ∠B > ∠D है।
प्रश्न 5.
आकृति में, PR > PQ है और PS कोण QPR को समद्विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि ∠PSR > ∠PSQ है।
उत्तर:
दिया है कि PR > PQ =
⇒ ∠PQS > ∠PRS …….. (1)
(∵ बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा ह्यता है।)
यहाँ PS, ∠QPR को समद्विभाजित करता है।
∠QPS = ∠RPS ……… (2)
समो. (1) व समी. (2) को जोड़ने पर,
∠PQS + ∠QPS > ∠PRS + ∠RPS
⇒ 180° – (∠PQS + ∠QPS) < 180° – (∠PRS + ∠RPS)
∠PSQ < ∠PSR.
प्रश्न 6.
दर्शाइए कि एक रेखा पर एक दिए हुए विन्दु मे.जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखण्ड खींचे जा सकते हैं उनमें लम्य रेखाखण्ड सबसे छोटा होता है।
उत्तर:
माना कि p कोई बिन्दु है, जो कि सीधी रेखा l पर नहीं है तथा PM ⊥ l.
अब, l पर कोई अन्य बिन्दु N लेने पर
∆PMN में,
∠M = 90°
तपा ∠N + ∠P + ∠M = 180°
⇒ ∠N + ∠P = 90°
अतः ∠N < 90°
∠M > ∠N
PN > PM
अत: PM सबसे छोटा रेखाखण्ड है।