Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.2 Text Book Questions and Answers.
BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.2
प्रश्न 1.
ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें POR और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं (देखिए आकृति) AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि-
(i) SR || AC और SR = \(\frac{1}{2}\) AC है।
(ii) PQ = SR है।
(iii) RQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
उत्तर:
(i) यहाँ त्रिभुज ACD में, बिन्दु S, AD का मध्य-बिन्दु है तथा बिन्दु R, CD का मध्य बिन्दु है।
⇒ SR || AC और SR = \(\frac{1}{2}\) AC ……… (1) (मध्य-बिन्दु प्रमेय)
(ii) ∆ABC में, बिन्दु P, Q क्रमश: रेखा AB और BC के मध्य बिन्दु हैं।
⇒ PQ || AC और PQ = \(\frac{1}{2}\) AC ……… (2)
समो. (1) व समी. (2) से, SR = PQ.
(iii) समी. (1) ष (2) से, PQ = SR तथा PQ || SR
⇒ PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। (∵ सम्मुख भुजाओं का युग्ण बराबर और समान्तर होत है।)
प्रश्न 2.
ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य विन्दु हैं। दशहिए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
उत्तर:
∆ADC में, बिन्दु P और Q, क्रमश: रेखा AB और BC के मध्य विन्द्र हैं।
PQ || AC तथा PQ = \(\frac{1}{2}\)AC ……. (1) (मध्य-बिन्दु प्रमेय)
∆ADC में, बिन्दु और क्रमशः रेखा CD और AD के मध्य बिन्दु है।
RS || AC तथा RS = \(\frac{1}{2}\)AC …….. (2) (मध्य-विन्दु प्रगेय)
समी- (1) व (2) से,
PQ = RS तथा PQ || RS
यहाँ सम्मुख भुजाओं का युग्म बराबर और सपनर है।
अत: PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
वहीं चतुर्भुज के दोनों विकर्ण O पर प्रतियोदित है।
चतुर्भुज OMQN में,
ON || MQ (∵ PS || AC)
OM || NQ (∵ RQ || BD)
अत: OMQN सनान्तर चतुर्भुज है।
⇒ ∠MQN = ∠NQM
⇒ ∠PQR = ∠NQM = 90° (∵ विकर्ष यहाँ लम्ब है क्योंकि OMQN समचतुर्भुज है)
अतः यदि किसी चतुज का आन्तरिक कोण 90 है तो बह आयत है।
प्रश्न 3.
ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमश: AB, BC, CD और DA के मध्य विन्दु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।
उत्तर:
∆ABC में, बिन्दु P व Q क्रमशः भुजा AB और BC के मध्य विन्दु हैं।
⇒ PQ || AC तथा PQ = \(\frac{1}{2}\)AC ……. (1)
∆ACD में, बिन्दु S व R क्रमशः भुजा AD और C के मध्य विन्दु हैं।
⇒ SR || AC तथा SR = \(\frac{1}{2}\)AC …….. (2)
समी. (1) व (2) से,
PQ || SR तथा PQ = SR
यहाँ सामुख भुजाओं का युम बराबर व समान्तर है।
अत: PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
यहाँ AD = BC (ABCD आवत है)
⇒ \(\frac{1}{2}\) AD + \(\frac{1}{2}\)BC
⇒ AS = BQ
∆APS और ∆BPQ में,
AP = PB (P मध्य बिन्दु है।)
AS = BQ (सिद्ध किया है।)
∠PAS = ∠PBQ = 90°
SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆APS ≅ ∆BPQ
⇒ PS = PQ
अतः PS = PQ = SR
अतः चतुर्भुज PQRS समचतुर्भुज है।
प्रश्न 4.
ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || DC है। साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य बिन्दु है। E से होकर एक रेखा AB के सपाजर खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है (पाठ्य पुस्तक में आकृति देखिए)। दर्शाइए किा भुजा BC का मध्य-बिन्दु है।
उत्तर:
यहाँचतर्भज ABCD में.
AB || DC, EF || AB तथा E भुजा AD का मध्य विन्दु है।
माना EF विकर्म BD को G पर मिलता है।
अब, ∆DAB में,
AB || EG तथा E, AD का मध्य विन्दु है।
आत: G भुजा DB का मध्य बिन्दु होगा। (विलोम मध्य-बिन्दु प्रमेय)
∆DBC में,
GF || DC तथा G, BD का मध्य बिन्दु है।
अत: Fभुजा BC का मध्य बिन्दु होगा। (विलोम मध्य-बिन्दु प्रमेय)
प्रश्न 5.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य-बिन्दु हैं(देखिए आकृति) दशाइए कि रेखाखण्ड AF तथा EC विकर्ण BD को समविभाजित करते हैं।
उत्तर:
यहाँ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
अत: AB = CD
तथा AB || DC
⇒ \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)CD
⇒ AE = FC
चतुर्भुज AECF में,
AE = FC तथा AE || FC
सम्पुष भुजाओं का युग्म समान व समान्तर है।
आत: AEFC एक समानर चतुर्भुज है।
⇒ EC || AF
⇒ EQ || AP
और Q C || PF
∆DQC में,
PF || QC नया F, CD का मध्य-बिन्दु है।
अत: P, DQ का मध्य-बिन्दु है।
(विलोम मध्य-बिन्दु प्रमेष)
इसी प्रकार ∆ABP सेने पर,
Q, PB का मध्य बिन्दु है।
⇒ DP = PQ = QB
आ: AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
प्रश्न 6.
दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
उत्तर:
माना ABCD एक चतुर्भुज है। P, Q, R और S क्रमशः AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु हैं। PR और QS एक-दूसरे को बिन्दु पर प्रतिदिन करते हैं।
∆ABC में,
विन्दु P व Q क्रमश: भुजा AB और BC के मध्य बिन्दु है।
⇒ PQ = \(\frac{1}{2}\)AC
तथा PQ || AC …….. (1) (मध्य-विन्दु प्रमेय)
∆ACD में,
बिन्दु S व R क्रमशः भुजा AD और CD मध्य-बिन्दु है।
⇒ SR = \(\frac{1}{2}\)AC
तथा SR || AC ……… (2) (मध्य-बिन्दु प्रमेय)
समी. (1) व (2) से,
PQ || SR तथा PQ = SR
⇒ PQRS एक समान्तर चतुर्भव है।
हमें ज्ञात है कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
∴ समान्तर चतुर्भुज PQRS के षिकर्ण PR और QS अर्थात् चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से मिलने वाले रेखाखण्ड एक-दूसरे को समद्विभानित करते हैं।
प्रश्न 7.
ABC एक त्रिभुज है जिसका ∠C समकोण है। कर्ण AB के मध्य बिन्दु M से होकर RC के समान्तर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि-
(i) D भुजा AC का मध्य विन्दु है।
(b) MD ⊥ AC है।
(iii) CM = MA = \(\frac{1}{2}\)AB है।
उत्तर:
(i) ∆ABC में,
बिन्दु M भुजा AB का मध्य बिन्दु है।
तथा MD || BC
अत: D भुजा AC का मध्य बिन्दु है।।
(मध्य बिन्दु प्रमेय के पितोग से)
(ii) MD || BC
⇒ ∠ADM = ∠ACB (संगत कोण)
∠ADM = 90°
अत: MD ⊥ AC.
(iii) ∆MCD और ∆MAD में,
MD = MD (उभयनिष्ठ)
∠MDA = ∠MDC = 90°. (∵ MD ⊥ AC)
AD = DC (D, AC का मध्य बिन्दु है)
∴ SAS सर्वांगसमता गुणधर्म में,
∆MCD ≅ ∆MAD
⇒ CM = MA
M भुवा AB का मध्य बिन्दु है
अतः CM = MA = \(\frac{1}{2}\)AB.